五音十二律的关系（五音十二律）

三分损益与十二律的相关物理　　在声学中，声音的高低（如西洋音乐中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是与物体振动的频率。

当我们取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。

如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。

　　除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。

我们将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为“八度音”。

所以“三分损”（长度变为原先的2/3）与“三分益”（长度变为原先的4/3），彼此之间正是一个“八度音”的关系（4/3 是 2/3 的两倍）。

由此，我们便可以从九九八十一的长度出发，试算前述藉由“三分损益”求得的长度，所得到的十二律∶　　黄钟∶81；　　林钟（由黄钟三分损而来）∶81 * 2/3 = 54；　　太簇（由林钟三分益而来）∶54 * 4/3 = 72；　　南吕（由太簇三分损而来）∶72 * 2/3 = 48；　　姑洗（由南吕三分益而来）∶48 * 4/3 = 64；　　应钟（由姑洗三分损而来）∶64 * 2/3 = 42.6667；　　蕤宾（由应钟三分益而来）∶42.6667 * 4/3 = 56.8889；　　大吕（由蕤宾三分益而来）∶56.8889 * 4/3 = 75.8519；　　夷则（由大吕三分损而来）∶75.8519 * 2/3 = 50.5679；　　夹钟（由夷则三分益而来）∶50.5679 * 4/3 = 67.4239；　　无射（由夹钟三分损而来）∶67.4239 * 2/3 = 44.9492；　　仲吕（由无射三分益而来）∶44.9492 * 4/3 = 59.9323；　　清黄钟（黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）∶59.9323 * 2/3 = 39.9549。

　　我们注意到最后一个“清黄钟”的长度39.9546，与直接取“黄钟”长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题。

因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。

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