拿破仑定理的应用（拿破仑定理）

拿破仑·波拿巴 (Napoleon Bonaparte, 1769—1821) 对数学和数学家怀有特别的敬意, 并且欣赏他自己提出的问题．事实上, 以下定理即归属于他: ——以任意三角形的三条边为边, 向外构造三个等边三角形, 则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点． [编辑本段]拿破仑定理: ?在△ABC中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形. 这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形． [编辑本段]下面介绍拿破仑定理的两种推广： 定理1 以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD。

CAE和ABF，这三个等腰三角形的底角各为α，β和γ。

且α+β+γ＝90°，则 ∠FDE＝90°-α，∠DEF＝90°-β。

∠EFD＝90°-γ． 证明 为方便计，把△ABC的三内角简记为A、B、C．因DC＝DB，则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置。

连FG． ∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG ＝360°- (α+β+γ) - (α+C+β) ＝180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ ＝A+β+γ＝∠FAE． 又BG＝CE＝AE，FB＝FA， ∴△FBG≌△FAE。

FG＝FE． 从而△DGF≌△DEF，∠FDG＝∠FDE， 同理∠DEF＝90°-β。

∠EFD＝90°-γ． 定理2． 在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝α，∠PCB＝∠QCA＝β。

∠RAB＝∠RBA＝γ，且α+β+γ＝90°，则RQ＝RP。

且∠QRP＝2α． 证明 RB绕R逆时针旋转2α至RG，连BG、AG、QG． ∵∠GBA＝∠GBR-γ ＝90°-α-γ ＝β 又RA＝RB＝RG， 即R为△ABG的外心。

∴△ABG∽△ACQ∽△BCP， 又∠BAC＝∠GAQ， 又∠RGQ＝∠AGQ+∠AGR ＝∠ABC+α+γ＝∠RBP。

∴∠RGQ≌△RBP． ∴RQ＝RP． 又因∠GRQ＝∠BRP， ∴∠QRP＝∠GRB＝2α． 以上摘自百度拿破仑吧． 下面介绍一个更好想的方法： 计算法证明: 设新三个三角形的中心分别是O1 O2 O3， 设出角度及边长。

表达出∣O1O2∣及∣O1O3∣的长.经计算均等于（a2+b2+c2）/6]+(abc/2*√3*R) 其中分别为三边长，R为三角形ABC外接圆半径 有兴趣的朋友可以试试。

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