tan75度等于多少保留根号

【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，其值可以通过三角恒等式推导得出。由于75°可以表示为45° + 30°，因此我们可以利用正切的加法公式来计算其值，并将结果以保留根号的形式表达。

一、公式推导

根据正切的和角公式：

$$

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}

$$

令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，则有：

$$

\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}

$$

已知：

- $ \tan 45^\circ = 1 $

- $ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $

代入得：

$$

\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}

$$

为了简化分母中的根号，我们可以对分子和分母同时乘以 $ 3 + \sqrt{3} $，即进行有理化处理：

$$

\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6}

$$

进一步化简：

$$

\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}

$$

二、总结与表格展示

三、结论

通过使用正切的和角公式并进行有理化运算，我们得出：

tan75° 的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，该结果保留了根号形式，适用于需要准确表达的数学场景。

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